Priemet priamky: Na prvom obrázku sú združené priemety priamky a. Zostrojenie združených priamok, prvého a druhého stopníka danej priamky, ako aj zostrojenie priemetu A2 bodu A ležiaceho na priamke a, keď je daný jeho priemet A1. Na vedľajšom obrázku je jednak vymodelovaná priamka a, jej sklopenie do priemetne a pod ním je vlastná konštrukcia v kolmom premietaní na dve priemetne. Dajú sa tu objasniť pojmy: sklopená priamka, skutočná veľkosť úsečky na tejto priamke a uhol priamky s priemetňou.
Kolmé priemety rôznobežiek a mimobežiek: Pomocou "Geóny" vymodelujeme rôznobežky a mimobežky. Na združených priemetoch týchto dvojíc priamok sa presvedčíme, že kým pri rôznobežkách priesečníky priemetov R1, R2 určujú združené priemety toho istého bodu R, pri mimobežkách to tak nie je. Priesečník prvých priemetov mimobežiek a, b, je priemetom dvoch navzájom rôznych bodov A, B a podobne priesečník druhých priemetov mimobežiek a, b, je priemetom dvoch navzájom rôznych bodov C, D týchto mimobežiek.
Združené priemety roviny: Priemetom roviny je celá priemetňa s výnimkou, keď je táto rovina premietajúcou rovinou, vtedy jej priemetom je priamka. Priemet roviny je vo všeobecnosti určený, ak poznáme priemety jej dvoch priamok. Najčastejšie sú týmito priamkami prvá a druhá stopa roviny. Treba si uvedomiť, že ako druhý priemet prvej stopy, tak aj prvý priemet druhej stopy sa premieta do základnice. Znaky + a - na obrázkoch ukazujú, ktorú stranu roviny vidieť v príslušnom priemete, pričom označenie strán sme zvolili ľubovoľne.
Priamka a bod roviny: Priamka je priamkou roviny, ak jej dva rôzne body sú bodmi roviny. Pretože v našom prípade rovina je určená svojimi stopami, bude pre nás výhodné brať do úvahy, že priamka je určená tak isto svojimi stopníkmi. Obrázok ukazuje, že ak je daná rovina priemetmi svojich stôp a prvý priemet priamky d1, tak druhý priemet tejto priamky je už viazaný podmienkou, že daná priamka je priamkou tejto roviny. Druhý priemet bodu D priamky d je viazaný podmienkou, že D je bodom danej priamky d a preto združené priemety bodu D musia byť na združených priemetoch priamky d.
Určenie roviny troma navzájom rôznymi bodmi, resp. dvoma rôznobežkami: Na určenie stôp roviny stačí zistiť po dva vhodné stopníky daných priamok. V našom prípade sme použili stopníky všetkých priamok, pričom stopníky tretej priamky slúžia na kontrolu presnosti rysovania.
Hlavné priamky roviny: Pretože premietanie roviny uskutočňujeme do dvoch priemetní, rovine prisudzujeme dve stopy; z toho dôvodu sú aj dva systémy hlavných priamok roviny, a to podľa toho, či tieto sú rovnobežné s prvou, alebo s druhou stopou danej roviny. Súčasne obrázok ukazuje známy poznatok: Bod je bodom roviny, ak je bodom hlavnej priamky tejto roviny. V našom prípade sme takto konštruovali prvý priemet bodu D pomocou hlavnej priamky druhej osnovy. Dolná fotografia znázorňuje sústavu hlavných a spádových priamok v praxi.
Spádová priamka roviny, uhol roviny s priemetňou: Použitie "Géony" nám umožní vysvetliť základné pojmy. Na obrázku je zostrojenie spádovej priamky prvej osnovy. Ide o priamku roviny kolmú na prvú stopu roviny a jej sklopenie do priemetne známym spôsobom. Jedným jej určujúcim bodom je jej stopník a druhým je ľubovoľný bod S, ktorého združené priemety zostrojíme napr. pomocou hlavnej priamky prvej osnovy. Uhol tejto spádovej priamky roviny s priemetňou určuje súčasne aj uhol roviny s priemetňou.
Rovina je určená dvoma navzájom rôznymi hlavnými priamkami: Určujúcimi priamkami roviny sú jej hlavné priamky g a h. Sú to podľa zadania hlavné priamky druhej osnovy. Pretože ide výslovne o združené priemety hlavných priamok druhej osnovy, netreba rysovať základnicu. Riešenie ukazuje zostrojenie druhej spádovej priamky a združených priemetov jej bodu D ako aj sklopenie tejto spádovej priamky, resp. určenie uhla tejto roviny a druhou priemetňou. Priamka GH je všeobecnou priamkou zadanej roviny a bod E je nielen jej bodom, ale aj bodom danej roviny.
Priesečnica dvoch rovín: Priesečnica dvoch rovnobežných rovín je zrejme priamka, ktorá je určená dvoma navzájom rôznymi bodmi. V premietaní tieto určujúce body nám spravidla dávajú priesečnice príslušných stôp danej roviny. V prvom prípade priesečnica r je určená bodmi PN. V druhom prípade priesečnica r je určená bodom N a smerom, do ktorého patria prvé stopy obidvoch daných rovín. Na tomto obrázku je zostrojený súčasne aj uhol daných rovín, ktorý určuje uhol spádových priamok, ktoré majú tú istú premietaciu rovinu /lebo stopy sú navzájom rovnobežné/.
Priesečník priamky s rovinou: Na zostrojenie priesečníka priamky s rovinou ρ sme v tomto prípade použili ľubovoľnú rovinu λ, ktorá obsahuje priamku q. Ich priesečnicu r určuje na priamke q bod R, ktorý je zo známych dôvodov aj priesečníkom priamky q s danou rovinou ρ.
Krycia priamka: Je konštrukčne výhodné, ak sa pri zostrojovaní priesečníka priamky s rovinou nepoužije všeobecná rovina, ale premietajúca rovina, ktorej jeden priemet je vždy totožný s príslušným priemetom danej priamky a súčasne s priemetom priesečnice oboch rovín. Stačí, ak potom zostrojíme už len jeden z priemetov uvažovanej priesečnice. Jej priesečník s príslušným priemetom danej priamky je priemetom priesečníka danej priamky s danou rovinou. Združený priemet k tomuto priemetu zostrojíme daným spôsobom.
Zásek dvoch trojuholníkov: Konštrukciu vykonáme pomocou krycích priamok k a l, tak získame body K a H na stranách DF a AC. Pozorne treba rozhodnúť o viditeľnosti.
Kolmica na rovinu: Kolmý priemet kolmice na rovinu je kolmý na jej stopu, resp. na priemety hlavných priamok roviny príslušných tejto stope. Z faktu, že v kolmom premietaní na dve priemetne prisudzujeme rovine dve stopy, vyplýva, že združené priemety kolmice na rovinu sú kolmé na príslušné stopy, resp. na príslušné systémy hlavných priamok. Päta kolmice na danú rovinu je vlastne priesečník danej kolmice s touto rovinou. Konštruujeme ho už skôr známym spôsobom, a to v premietaní najvýhodnejšie pomocou krycej priamky.
Kolmica na rovinu úlohy: Pomocou kolmice riešime tieto základné úlohy /často používané v deskriptívnej geometrii/: a/ nanášanie výšky, b/ vzdialenosť bodu od priamky. Prvá úloha nám umožní riešiť aj úlohy: vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť dvoch rovín a úlohu: Bodom priamky zostrojiť rovinu kolmú na túto priamku. V druhej úlohe je ako čiastková známa úloha z deskriptívnej geometrie: Bodom neležiacim na danej priamke zostrojte rovinu kolmú na túto priamku. Obidve základné úlohy sú zostrojené na obrázku. Poznámka: Pomocou druhej úlohy sa rieši aj prvý krok úlohy: Osemsten je daný jednou svojou osou a svojím vrcholom neležiacim na tejto osi. Zostrojte tento osemsten.
Otáčanie roviny do priemetne: Z obrázkov je zrejmé otočenie hlavnej priamky do priemetne /ako aj celej roviny/ a otočenie ľubovoľnej priamky b roviny do priemetne, pričom v otočení je zostrojená v danej rovine kolmá priamka a na túto priamku. V našom prípade prvý priemet pravého uhla v rovine je uhol väčší ako pravý a druhý menší ako pravý uhol. Vysvetliť pojmy: os otáčania, rovina otáčania, stred otáčania, polomer otáčania, samodružné body, otočený bod, priamka, rovina.
Otočenie trojuholníka do priemetne - skutočná veľkosť trojuholníka: Konštrukcia je uskutočnená otočením bodu C a pomocou samodružných bodov I, II, III príslušných strán trojuholníka.
Zobrazenie telies - kolmý pravidelný šesťboký ihlan s podstavou vo všeobecnej rovine: Pri zobrazení kolmého pravidelného šesťbokého ihlana treba riešiť tieto čiastkové úlohy: a/ otočenie roviny podstavy do priemetne za účelom zostrojenia priemetu podstavy; b/ v strede podstavy S naniesť danú výšku V. V našom prípade bol ihlan určený takto: Daná je rovina α a v nej bod S, ktorý je stredom podstavy pravidelného šesťbokého ihlana, pričom jedna jeho hrana je rovnobežná s prvou stopou roviny podstavy. Podstava má daný polomer r a ihlan má danú výšku v = SV.
Názorné zobrazenie niektorých základných hranatých telies - základné pojmy: V danej rovine α môžeme ľubovoľným bodom O zostrojiť dve navzájom kolmé priamky tejto roviny a kolmicu na túto rovinu. Ak zostrojíme priemety jednotiek na priemetoch týchto troch priamok, tak môžeme názorne zobrazovať hranaté telesá, napr. hranoly, kocky a pod. V prvom prípade riešime túto úlohu vzhľadom na rovinu, ktorá v prvom priemete je vzhľadom k nám privrátená a v druhom prípade je vzhľadom k nám odvrátená.
Spoj dreva - názorný obrázok: Na zostrojenie tohto obrázka sme použili vzťahy odvodené v predchádzajúcom obrázku.
Tretí priemet kocky: Názorné obrázky telies môžeme zostrojiť aj použitím tzv. tretej priemetne, pričom vždy ide o priemetňu, ktorá je kolmá na niektorú z daných dvoch priemetní, teda je v podstate premietajúcou rovinou. Názorný obrázok by sme priamo nevideli, lebo sa v tomto priemete premieta celá do priamky, preto ju treba sklopiť. V našom prípade ide o rovinu kolmú na prvú priemetňu, preto základnicou je priamka j13 a preto vzdialenosti tretích priemetní daných bodov určujú ich z-ové súradnice.
Tretí priemet pravidelného kolmého štvorbokého ihlana: V tomto prípade sme za tretiu priemetňu použili premietajúcu rovinu, ktorá je kolmá na druhú priemetňu. Jej základnicou je priamka z23 a vzdialenosti tretích priemetov jednotlivých vrcholov ihlana určujú ich y-ové súradnice.
Rovinný rez hranola premietajúcou rovinou: Rovina α je druhou premietajúcou rovinou, jej prvá stopa je kolmá na druhú priemetňu. V druhom priemete premieta sa do svojej stopy, t.j. do priamky, preto aj celý rez sa premieta do úsečky A2′, B2′, D2′, C2′. Daná rovina ide vrcholom A, preto A2 = A2′. Prvý priemet rezu je združený s druhým priemetom. Skutočná veľkosť rezu je zostrojená otočením do prvej priemetne pomocou otočenia bodu B a samodružných bodov I, II, III, IV. Kedže náprotivné steny hranola sú rovnobežné, je rezový uholník z dôvodov známych zo stereometrie rovnobežníkom.
Rovinný rez kolmého pravidelného štvorbokého ihlana premietajúcou rovinou: V tomto prípade rezový uholník sa premieta v druhom priemete do úsečky A2′B2′ = D2′C2′. Prvý priemet určíme ako združený k druhému priemetu. Skutočnú veľkosť rezového uholníka sme zostrojili jeho otočením do priemetne, pričom os otáčania je stopa roviny rezu. Pretože rovina rezu je druhopremietajúcou rovinou, polomer otáčania každého bodu sa javí v druhom priemete v skutočnej veľkosti. Na kontrolu sme použili samodružné body I, II, III a IV v tomto otáčaní.
Sieť šikmého štvorbokého hranola: Na zostrojenie siete šikmého hranola musíme vždy zostrojiť rovinný rez tohto hranola rovinou kolmou na sústavu hrán hranola a skutočnú veľkosť rezu. Musíme tak urobiť, pretože pri rozvinutí rezového uholníka do priamky sú aj hrany hranola kolmé na túto priamku.
Sieť pravidelného kolmého štvorbokého ihlana: Sieť tohto telesa sa konštruuje jednoduchšie, ide tu v podstate o zostrojenie skutočných veľkostí rovnoramenných trojuholníkov, ktorými sú jeho steny. Podstava je štvorcová. Ak chceme zostrojiť sieť jeho zrezanej časti, stačí zistiť vzdialenosti vrcholu rezového uholníka od jeho vrcholu a pripojiť skutočnú veľkosť rezového uholníka. Na zostrojenie siete sme použili údaje z obr. 26.
Sústružnícky nôž: Ako ukážku na rez hranola použijeme roviny brúsenia sústružníckeho noža. Ide tu v podstate o rovinný rez hranola rovinami α a β ako vidieť na obrázku. Pretože jedna sústava jeho stien je rovnobežná s priemetňou, stačí brať do úvahy stopy roviny a príslušné hlavné priamky.
Rovinný rez hranola všeobecnou rovinou: Vlastné riešenie uskutočníme tak, že určíme priesečník jednej hrany s rovinou rezu, tak určíme napr. bod C1′ a potom pomocou samodružných bodov I, II, III a IV zostrojíme ostatné body. V našom prípade sme mali úlohu zjednodušenú, lebo bod A je bodom rezovej roviny α. Skutočnú veľkosť rezu robíme otočením známym spôsobom.
Rovinný rez hranola všeobecnou rovinou: Rovina δ je všeobecnou rovinou. Vlastné riešenie uskutočníme tak, že pomocou tretej priemetne, idúcej osou hranola a kolmej na stopu rezovej roviny δ, odvodíme z rezu A3′D3′ = B3′C3′ prvý priemet rezového uholníka, pričom vrcholy D1′ a B1′ zostrojíme pomocou hlavnej priamky určenej týmito bodmi, ktorej prvý priemet poznáme: alebo využijeme samodružné body I, II, III, IV. Skutočnú veľkosť rezového uholníka určíme otočením do priemetne známym spôsobom.
Prienik priamky s hranolom: Principiálne riešime úlohu tak, že zostrojíme rez hranola rovinou idúcou danou priamkou r a rovnobežnou so systémom hrán. Táto nám v našom prípade v prvom priemete určila body R1′Q1′. Buď tak, že danou priamkou r položíme všeobecnú rovinu. Potom priesečníky danej priamky s rezovým uholníkom /v našom prípade body R′, Q′/ sú už body preniku priamky s daným hranolom. My sme v podstate vyriešili obidva prípady.
y
