y
Základné zobrazovacie metódy V. - Pravouhlá axonometria
Tri navzájom kolmé priamky v priestore, ktorých spoločný bod O je nad rovinou: Zvoľme si priemetňu π a bod O v kladnom polpriestore nech je spoločným bodom troch navzájom kolmých priamok OX, OY, OZ /t.j. OX ⊥ OY, OX ⊥ OZ, OY ⊥ OZ/, zrejme body X, Y, Z sú za radom ich stopníky, potom priamky OZ, OY, XZ, YZ sú stopy rovín OXY, OXZ, OYZ, na ktoré sú za radom priamky OZ, OY, OX kolmé. Pretože ide o kolmé premietanie pre priemety týchto priamok platí: 1. Premietajúca rovina priamky OZ je kolmá na priamku XY, ktorá je stopou roviny OXY a pretína ju v bode P, ktorý je súčasne stopníkom spádovej priamky roviny OXY idúcej bodom O. /Veta o priemete pravého uhla - určujú ho priamky XY, OZ, pre ktoré platí XY ⊥ OZ/. Podobnú úvahu by sme mohli urobiť za radom o priamke OY ⊥ /OXZ/; a o priamke OX ⊥ /OYZ/. 2. Pretože O₁Z ⊥ O₁XY, O₁Y ⊥ O₁XZ, O₁X ⊥ O₁YZ je bod O₁ priesečník výšok stopného trojuholníka XYZ. 3. Priamka OZ je zrejme kolmá na priamku OP, lebo táto je spádovou priamkou roviny OXY, na ktorú je priamka OZ kolmá. Pretože priamky OZ a OP majú spoločnú premietajúcu rovinu a ich obrazy sú totožné, v obraze nie je vidieť kolmosť týchto priamok. Ak si uvedomíme, že trojuholník ZOP je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole P a s preponou ZP, ktorá je v skutočnej veľkosti, lebo celá je v priemetni, tak určenie skutočnej veľkosti trojuholníka ZOP sklopením do roviny π, použitím Tálesovej vety, nám nespôsobí nijaké ťažkosti. Sklopený obraz trojuholníka ZOP je trojuholník Z/O/P, v ktorom P/O/ ⊥ /O/Z a veľkosť úsečky O₁/O/ určuje skutočnú veľkosť vzdialenosti spoločného bodu O všetkých troch navzájom kolmých priamok OX, OY, OZ od priemetne. 4. V rovine OXY je △ OXY pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole O a preponou XY, ktorá je stopou roviny. Jeho skutočnú veľkosť zostrojíme otočením bodu O okolo stopy XY do roviny π použitím Tálesovej kružnice. Tak sme získali △ /O/XY v skutočnej veľkosti, v ktorom ∠ /O/ = 90°.
Tri navzájom kolmé priamky v priestore, ktorých spoločný bod O je pod rovinou π: V tomto prípade bod O je v zápornom polpriestore vzhľadom na priemetňu π, pričom z-ovú súradnicu bodu O platí |−z₀| = |z₀|, t.j. čísla −z₀ a z₀ sú navzájom opačné čísla. Celá úvaha je obdobná ako v prvom obraze. Pre ďalšie úvahy je nepodstatné, v ktorom z polpriestora s hraničnou rovinou π sa bod O nachádza, ak to výslovne nepovieme, bude to znamenať, že bod O je v opačnom polpriestore vzhľadom na nás, t.j. je pod priemetňou. Fotografia modelu súčasne ukazuje otočenie roviny OXY do roviny π okolo jej stopy XY.
Dôsledky vyplývajúce z predchádzajúceho: Ak si to, čo sme spomínali všetko dôsledne uvedomíme, sme uspôsobení veľmi účinné a názorne zobrazovať celý rad telies a riešiť veľa úloh. Zrejme body X, Y, Z sú za radom stopníky troch navzájom kolmých priamok OX, OY, OZ a teda sú bodmi priemetne XYZ. Priamky XY, XZ, YZ sú za radom stopy troch navzájom kolmých rovín OXY, OXZ, OYZ a teda sú priamkami priemetne XYZ. Bod O je spoločný nielen spomínaným navzájom kolmým priamkam OX, OY, OZ, ale je aj spoločným bodom trom navzájom kolmých rovín OXY, OXZ, OYZ, pre ktoré tieto priamky sú príslušné priesečnice. V našom premietaní sme si skôr ukázali, že bod O sa premieta do priesečníka výšok, a preto nebudeme /prípadne nemusíme/ označovať obraz tohto bodu príslušným indexom, ak toto premietanie je dané: a/ buď stopným trojuholníkom XYZ, v ktorom priesečník výšok je priemetom troch navzájom kolmých priamok OX, OY, OZ. b/ buď bodom O, ako priemetom spoločného bodu troch spomínaných navzájom kolmých priamok a troma navzájom rôznymi priamkami prechádzajúcimi týmto bodom, ktoré chápeme ako priemety troch navzájom kolmých priamok OX, OY, OZ, kde poloha bodov X, Y, Z je viazaná polohou jedného z nich, lebo sú bodmi nielen príslušných navzájom kolmých priamok, ale súčasne aj bodmi stopného trojuholníka, pre ktorý bod O je priesečníkom výšok /ortocentrum/. V našich úvahách budeme používať len také trojuholníky, pre ktoré bod O je vnútorným bodom stopného trojuholníka XYZ. Prvý obrázok ukazuje stopný trojuholník XYZ, v ktorom bod O je priesečníkom výšok, alebo obrátene, priemet troch priamok majúcich spoločný bod O; ak na jednej z nich si ľubovoľne zvolíme bod /napr. X/ a zostrojíme príslušným spôsobom △ XYZ s priesečníkom výšok O, tak △ XYZ je stopným trojuholníkom bod O priemetom spoločného bodu troch navzájom kolmých priamok. Druhý obrázok ukazuje sklopenie roviny XYZ pravouhlého trojuholníka ZOP použitím Tálesovej vety. Z neho sa dá zistiť skutočná veľkosť úsečiek na priamke OZ a uhol priamky OZ s priemetňou XYZ a vzdialenosť bodu O od roviny XYZ. Tretí obrázok ukazuje otočenie do roviny XYZ pravouhlého trojuholníka OXY /v podstate roviny OXY/ okolo prepony XY /stopy roviny OXY/ použitím Tálesovej vety. Takto môžme určiť skutočnú veľkosť úsečiek na priamkach OX, OY, ako aj uhol týchto priamok s priamkou XY /stopou roviny OXY/.
Otočenie do priemetne ľubovoľnej z daných troch navzájom kolmých priamok: priemety jednotkových úsečiek na týchto priamkach: Použitím predchádzajúcich výsledkov, najmä z druhého a tretieho obrázku predchádzajúceho okienka, sme zostrojili priemety jednotkových úsečiek na priamkach OX, OY, OZ.
Využitie priemetov troch navzájom kolmých priamok a jednotiek na nich na názorné zobrazenie v praxi: Ak si zvolíme dohodnutým spôsobom stopný trojuholník XYZ vždy sa dajú zostrojiť obrazy spomínaných troch navzájom kolmých priamok: a na nich aj obrazy jednotkových úsečiek. Voľbou vhodného stopného trojuholníka je už dané určité kolmé premietanie, pre ktoré si môžme všetky potrebné prvky zostrojiť. Aby sme toto zostrojovanie nemuseli po každý raz opätovne zostrojovať, môžme prenesenie potrebných prvkov uskutočniť pomocou kružnice so stredom v bode O, s ľubovoľným polomerom napr. O1 a ďalších získaných bodov 2, 3. Veľkosti priemetov jednotkových úsečiek na navzájom kolmých priamkach o spoločnom bode O si vyznačíme pomocou priemetov bodu O a ich koncových bodov. Takto sme napr. zostrojili priemet kocky /obr. celkom vpravo/.
Názorné zobrazenie dutej tehly - využitie priemetov troch navzájom kolmých priamok a jednotiek na nich: Teraz už môžme podľa presných rozmerov vo zvolenom premietaní realizovať pohľadový obrázok napr. dutej tehly.
Pravouhlý priemet kružnice a kolmice na rovinu kružnice; konštrukcia priemetu kružnice, ktorá je v ľubovoľnej rovine danej zvolenými tromi navzájom kolmými priamkami, keď poznáme priemety týchto priamok: Ani "nové" zobrazenie kružnice, ležiacej v niektorej z rovín OXY, OXZ, OYZ, nám nebude robiť ťažkosti, ak si uvedomíme všetko to, čo vieme o kolmom priemete kružnice napr. do prvej priemetne. Ba čo viac, ak si zvolíme stopný trojuholník XYZ a uvedomíme si, že pre zvolenú rovinu OXY sú priamky OX a OY navzájom kolmé, tak konštrukcia bodu M je veľmi jednoduchá. AB je priemer kružnice rovnobežný so stopou XY, preto AS = SB = r v skutočnej veľkosti pre kružnicu platí AM ⊥ MB, lebo M je na polkružnici nad priemerom AB, a preto v priemete AM ∥ YO, BM ∥ XO a ich priesečník určuje priemet bodu M. Vrcholy C, D elipsy zostrojíme rozdielovou konštrukciou, ktorú sme osobitne zvýraznili pomocným obrázkom pod vlastným riešením. Kvôli ucelenosti aplikácie sme obrázok doplnili zostrojením výšky v bode O na obraz rotačného kužeľa s podstavou v rovine OXY a stredom podstavy v bode O.
Určujúce prvky pravouhlého priemetu kružnice ležiacej v základnej rovine; pravouhlý priemet guľovej plochy: Opätovne zdôrazňujeme zostrojenie priemetu kružnice, ktorá na našom obrázku je v rovine OXY, so stredom v bode O a polomerom AS = r, ktorý sa z dôvodu, že ide o kolmé premietanie, javí v skutočnej veľkosti. Nerobí nám ťažkosti ani zobrazenie guľovej plochy a jej prvkov, pretože jej obrysom je nutne kružnica, ktorej veľkosť polomeru sa rovná veľkosti guľovej plochy. Ak si bod O zvolíme za stred guľovej plochy a rovinu OXY za rovinu rovníka, potom sa konštrukcia priemetu rovníka robí podobne ako v predchádzajúcom prípade. Najvzdialenejšie body guľovej plochy vzhľadom na rovinu rovníka určia nám priesečníky osi guľovej plochy s osou plochy, pre ktoré zrejme platí OS = OJ = r. Ich konštrukcia je zrejmá z obrázku.
Základné pojmy pravouhlej /ortogonálnej/ axonometrie: V predchádzajúcom sme si na určitej časti učiva o kolmom premietaní, ktoré iste poznáte, ukázali v podstate premietaciu metódu vhodnú nielen na zostrojovanie názorných obrázkov, ale aj na riešenie ostatných úloh deskriptívnej geometrie. Nie je tajnosťou, že v podstate išlo o premietaciu metódu, ktorá sa volá pravouhlá, čiže ortogonálna axonometria. V ďalšom budeme predpokladať, že rovina XYZ nemusí byť totožná s našou známou priemetňou π, ale môže byť ľubovoľnou rovinou, ktorú vo všeobecnosti označujeme a voláme axonometrická priemetňa a trojuholník XYZ axonometrický trojuholník. Navzájom kolmé priamky OX, OY, OZ tvoriace pravouhlý trojsten, budeme za radom označovať x, y, z a volať súradnicové osy x, y, z a ich spoločný bod začiatok súradnicového systému. Navzájom kolmé roviny OXY, OXZ, OYZ, tvoriace pravouhlý trojsten, budeme za radom označovať π, ν, μ a budeme ich označovať ako súradnicové roviny. Bod O začiatok súradnicovej sústavy /alebo systému/. Axonometrické premietanie je jednoznačne dané buď: a/ axonometrickým trojuholníkom XYZ; buď b/ troma navzájom rôznymi priamkami x, y, z, majúcimi spoločný bod O, ktoré sú kolmými priemetmi troch navzájom kolmých a rôznych priamok v priestore majúcich spoločný bod. Nech axonometrické premietanie je dané hociktorým z týchto dvoch spôsobov, vždy môžme dospieť k spoločnému výsledku, ktorý vidíme na poslednom obrázku. Poznámka: Systém homotetických trojuholníkov XYZ so stredom homotétie v bode O určuje systém rovnobežných axonometrických priemetní, ktoré nám dávajú zhodné obrazy zobrazovaných útvarov.
Vzdialenosť začiatku súradnicovej sústavy od axonometrickej priemetne: Sklopením súradnicovej osi OX do priemetne zistíme vzdialenosť začiatku O od danej axonometrickej priemetne, ktorej jeden bod je bod X. Podobne môžme zistiť aj priemet bodu Q osi x, ktorý má danú vzdialenosť od axonometrickej priemetne alebo obrátene.
Vzdialenosť axonometrických priemetní: Je očividné, že k zvolenej axonometrii prislúcha celý systém /trieda/ axonometrických priemetní, ktoré sú všetky navzájom rovnobežné. Každým bodom v priestore môžme viesť axonometrickú priemetňu a má zmysel zisťovať vzdialenosti ľubovoľnej axonometrickej priemetne vzhľadom na zvolenú axonometrickú priemetňu. To sme urobili na druhom obrázku: je ňou veľkosť úsečky X′/X′/.
Priamka v axonometrickej priemetni a jej stopníky: Ak priamka je priamkou axonometrickej priemetne, jej stopníky s príslušnými súradnicovými rovinami sú na príslušných stopných stranách axonometrického trojuholníka. Pomocou nich môžme zostrojiť okrem axonometrického priemetu priamky ležiacej v axonometrickej priemetni aj jej kolmý priemet do niektorej zo súradnicových rovín.
Bod v axonometrickej priemetni: Bod je bodom axonometrickej priemetne, ak je bodom jej ľubovoľnej priamky. V prvom prípade sme použili všeobecnú priamku a, pričom sme vyznačili aj priemet bodu A do prvej priemetne. V druhom prípade sme použili rovnobežnú priamku s druhou stopou axonometrického trojuholníka.
Zostrojenie axonometrickej priemetne daným bodom: Bodom A sme položili axonometrickú priemetňu. V druhom obrázku sme použitím tohto spôsobu určili vzdialenosť bodu A od zvolenej axonometrickej priemetne.
Axonometrický priemet roviny: Rovina v axonometrii je daná stopným trojuholníkom, ktorý v určitých prípadoch môže "degenerovať", to sa stane vtedy, ak rovina ide začiatkom O, ak je rovnobežná s niektorou súradnicovou osou alebo rovinou.
Axonometrický priemet priesečnice dvoch rovín: Priesečnica dvoch rovín v axonometrii je celkom evidentná, lebo stačí si uvedomiť, že len priamky tejže roviny môžu mať spoločný bod. Spravidla sú to stopy príslušných rovín v jednotlivých súradnicových rovinách. Tak sme priamo zostrojili body 1, 2, 3, ktoré všetky ležia na tejže priamke r, ktorá je spoločná obidvom daným rovinám, a teda je to priesečnica. Obrázky ukazujú niekoľko možných prípadov priesečníc.
Axonometrická stopa roviny: Podobnú funkciu, akú má stopa roviny v kolmom premietaní na jednu alebo dve navzájom kolmé priemetne, má priesečnica danej roviny s axonometrickou priemetňou. Pretože je priamkou axonometrickej priemetne, nazývame ju axonometrickou stopou roviny. Jej body majú nulovú vzdialenosť /kótu/ od axonometrickej priemetne. Axonometrická stopa danej roviny je určená priesečníkmi stôp danej roviny s príslušnými stranami axonometrického trojuholníka. Na našom obrázku je to priamka r, určená navzájom rôznymi bodmi 1, 2, 3. Na ďalších obrázkoch sú jednotlivé špeciálne prípady, ktoré sa zvyčajne vyskytujú v praxi.
Axonometrické stopy danej roviny vzhľadom na voľbu axonometrickej priemetne: Postup je evidentný z obrázku. Osnova axonometrických priemetní pretína vrstevnicovú /druhú/ rovinu v systéme navzájom rovnobežných axonometrických stôp danej vrstevnicovej roviny.
Priemet priamky v axonometrii: Pre určenie priamky v priestore v axonometrii je potrebný axonometrický obraz danej priamky a jej kolmý priemet do niektorej zo súradnicových rovín.
Priesečník priamky s rovinou v axonometrii: Priesečník priamky s rovinou v axonometrii je zrejmý na prvý pohľad. Na jeho konštrukciu spravidla použijeme niektorú z premietajúcich rovín danej priamky, a to tú, ktorá sa vzťahuje na daný kolmý priemet priamky. Ide tu o konštrukciu "krycej" priamky, ktorá v tomto prípade už nie je "krycia".
Axonometrický stopník priamky: otočenie priamky do axonometrickej priemetne: Podobnú úlohu, ako pre nás skôr mal stopník priamky, má teraz axonometrický stopník priamky. V axonometrii priesečník priamky s axonometrickou priemetňou sa volá axonometrický stopník priamky. Jeho vzdialenosť od axonometrickej priemetne je nulová. Konštruuje sa spravidla pomocou axonometrickej stopy premietajúcej roviny. Použitím axonometrického stopníka danej priamky a vzdialenosti prvého stopníka danej priamky od axonometrickej priemetne sme sklopili danú priamku do priemetne. Týmto spôsobom sa zisťujú všetky prvky priamky ako v premietaní na jednu priemetňu.
Skutočná veľkosť úsečky v axonometrii: Skutočnú veľkosť úsečky AB sme urobili tou istou metódou, ako sme robili skutočnú veľkosť úsečky v kolmom premietaní na jednu priemetňu. Bodmi A, B sme položili axonometrické priemetne a určili ich vzdialenosť. V našom prípade sme si tým zaobstarali kótu A, pričom A/A/ = Y/Y/. Ďalší postup je evidentný.
Vynášanie súradníc v axonometrii: Pre naše účely sme na súradnicových osiach x, y, z, zistili a priamo za radom vyniesli kóty 3, 4, 5. Použitím týchto kót sme zostrojili obraz bodu A /3, 4, 5/, úsečky OA, kde O /0, 0, 0/, A /3, 4, 5/, roviny so súradnicami /3, 4, 5/; rovín so súradnicami za radom /3, 4, 5/, /3, −4, 5/.
Otočenie roviny do axonometrickej priemetne: Otočenie roviny α do axonometrickej priemetne okolo jej axonometrickej stopy r sa robí známou metódou otáčania roviny do priemetne v už preberanom kolmom premietaní. Pre otočenie stačí jeden jej bod, v našom prípade ide o body Yα . Stred otáčania pre tento bod je R, rovina otáčania obsahuje tento bod, ako aj bod Yα a je kolmá na os otáčania r. Polomer otáčania nám určuje skutočná veľkosť úsečky RYα. Bodu Yα zodpovedá v otočení bod YOα. Pre nás dôležité samodružné body sú body 1 a 2 na osi otáčania r. Ostatné je zrejmé z obrázku.
Obrazec v rovine v axonometrii: Použitím vlastností z predchádzajúceho obrázku sme zostrojili axonometrický obraz obdĺžnika, ktorého strana BC je v tretej stope danej roviny α, vrchol A je priesečník druhej stopy roviny α s axonometrickou stopou roviny a vrchol D je bodom prvej stopy roviny.
Axonometrický priemet kružnice ležiacej v súradnicovej rovine: Axonometrický obraz kružníc ležiacich v súradnicových rovinách sme v podstate riešili na obrázku 7 a 8. Aj konštrukcia určujúcich prvkov sa zakladá na tom istom princípe: veľkosť a polohu polomeru poznáme, na konštrukciu obrazu stačí, ak máme priemet ďalšieho bodu kružnice, a tým je bod M. Elipsa, ktorá je obrazom kružnice, je určená veľkosťou hlavnej osi a jedným dalším bodom. Rozdielovou konštrukciou dokončíme riešenie.
Zobrazenie trojbokého kolmého hranolu s podstavou vo všeobecnej rovine v axonometrii: Výsledky z obrázkov 24 a 25 nám umožnia zostrojiť axonometrický priemet trojbokého kolmého hranola s podstavou vo všeobecnej rovine. Kvôli jednoduchosti /aplikácie nanesenia výšky/ sme ako podstavu tohto hranola zvolili priamostopný trojuholník roviny α.
Axonometrické zobrazenie kružnice ležiacej vo všeobecnej rovine: Táto konštrukcia je z hľadiska metodického nová a neobvyklá v tom, že konštrukcia bodu M je urobená metódou principiálne vysvetlenou na obrázku 1 - 3. Celé toto poňatie axonometrie sa zakladá na jednotiacom princípe, že kolmá axonometria je kolmé premietanie do jednej všeobecnej položenej priemetne a je tomu, kto ovláda premietanie na jednu, resp. na dve navzájom kolmé priemetne, celkom známa, resp. si ju môže na základe týchto vedomostí vybudovať.
Axonometrický obraz pravidelného osembokého ihlana s podstavou v súradnicovej rovine: Podstavou ihlanu, ktorou je pravidelný osemuholník, zostrojíme otočením roviny do axonometrickej priemetne. Nanesenie výšky uskutočníme známym spôsobom.
Axonometrický obraz hranola: Z praktických dôvodov sme volili jeden vrchol podstavného hranola do začiatku a štvorec podstavy tak, aby jeho príslušné strany boli v súradnicových osách. Ostatné vyplýva z obrázku.
Axonometrický obraz kužeľa: Ide tu o obraz kružnice v rovine a nanesenie príslušnej výšky.
Axonometrický obraz valca: Pri zobrazovaní tohto lodného komína sa vyskytujú obrazy piatich kružníc, z ktorých štyri sú zhodné /majú rovnaký polomer/ a piata je im "podobná" /má len menší polomer/. To isté musí platiť aj o ich obrazoch.
Axonometrický obraz panela: Predchádzajúce vedomosti sme použili pri konštrukcii obrazu tohto panela.
Axonometrický obraz rovinného rezu kolmého hranola: Konštrukcia obrazu tohto rovinného rezu kolmého štvorbokého hranola nám pripomína konštrukcie, ktoré sme robili v stereometrii. V podstate ide o axonometrický obraz kolmého štvorbokého ihlana a ďalej konštrukcie priesečníc rovín jeho stien /resp. priesečníkov jeho hrán/ s rovinou rezu. Treba pripomenúť, že rezový uholník a uholník podstavy sú afinne združené, kde os afinity je priesečnica roviny rezu s rovinou podstavy, smer afinity je daný hranami tohto hranola a pár afinne združených bodov nám určuje jeden vrchol podstavy a priesečník k nemu príslušnej hrany hranola s rovinou rezu /napr. A, A′/.
Axonometrický obraz rovinného rezu rotačného valca: To isté platí aj o tomto obraze s tým rozdielom, že tu ide o rotačný valec. Na ľavej strane obrázku je pomocná konštrukcia zostrojenia priamky nedostupným priesečníkom.
Axonometrický obraz rovinného rezu kolmého ihlana: O tomto obrázku platí to, čo sme povedali pri obr. 34, iba s tým rozdielom, že tu ide o kolineárny vzťah medzi uholníkom podstavy a rezovým uholníkom, kde os kolinácie je priesečnica roviny rezu s rovinou podstavy, stred kolinácie je vrchol ihlana a pár kolineárne združených bodov určuje vrchol podstavy a priesečník príslušnej hrany s rovinou podstavy /napr. A, A′/.
Axonometrický obraz rovinného rezu rotačného kužeľa: To isté platí aj v tomto prípade, iba s tým rozdielom, že tu ide o rotačný kužeľ a rovina ho reže v elipse.
Axonometrický obraz guľovej plochy a sférického trojuholníka: Axonometrický obraz guľovej plochy poznáme z obr. č. 8. Zostrojenie poludníkových kružníc v rovinách ν, μ a rovníkovej kružnice v rovine sa robí tým istým spôsobom, aký sme používali na obrázkoch 8, 9, 26, 28, 31 a 37.
