Pravouhlý priemet kružnice: Na prvom obrázku vidíte pomôcku, ktorou sa znázorňuje kružnica v rovine a jej obidva pravouhlé priemety. Na vedľajšom obrázku je príslušný graf.
Ohnisková definícia elipsy a konštrukcia dotyčnice v bode elipsy: Prvý obrázok ukazuje bodovú konštrukciu elipsy a druhý konštrukciu dotyčnice t elipsy v jej bode M.
Oskulačné kružnice vo vrcholoch elipsy a rozdielová konštrukcia elipsy: Kružnica určená vrcholom A s polomerom b a kružnica určená vrcholom C s polomerom a umožňuje určiť stredy OAB a OCD tzv. oskulačných kružníc vo vrcholoch A a C a polomery aj pre oskulačné kružnice vo zvyšných vrcholoch. Vedľajší obrázok poukazuje na podstatu použitia tzv. rozdielovej konštrukcie na konštrukciu bodov elipsy a demonštruje konštrukciu bodu M. Elipsa je daná hlavnou a vedľajšou polosou.
Združené priemery elipsy a konštrukcia dotyčníc z bodu k danej elipse: Prvý obrázok demonštruje pojem združeného priemeru k danému priemeru. Priemer g je vtedy združený s priemerom p, ak priemer q je rovnobežný s dotyčnicami zostrojenými v koncových bodoch priemeru p. Konštrukcia dotyčníc z bodu k danej elipse využíva vlastnosti vyplývajúce z ohniskovej definície elipsy. Bod V sme zvolili tak, aby sme konštrukciu mohli využiť priamo v jej bežných aplikáciách /kužeľ/. Pri valci v pravouhlom premietaní ide o zostrojenie dotyčníc v hlavných vrcholoch, ktoré sú nevyhnutne rovnobežné s vedľajšou osou.
Konštrukcia hlavnej a vedľajšej osi elipsy z jej združených priemerov a konštrukcia vedľajšej polosi elipsy danej hlavnou polosou a bodom: Obrázok ukazuje tzv. Rytzovú konštrukciu elipsy. Jej základ je v afinite danej elipsy s kružnicami, ktoré majú stred v strede elipsy s polomermi o veľkostiach a, b. Obrázok vpravo ukazuje tzv. záverečnú konštrukciu elipsy, ktorá je daná hlavnou polosou a bodom. Ukazujeme ju osobitne, pretože ju racionálne využívame na zostrojenie druhého priemetu kružnice, keď prvým priemetom je elipsa daná hlavnou a vedľajšou polosou.
Priemet rotačného valca s podstavou vo všeobecnej rovine: Na riešenie tejto úlohy sme ako základ použili výsledok z obr. 4, t.j. zostrojenie priemetov kružnice danej stredom O a polomerom r v rovine α. Túto úlohu sme doplnili iba tým, že sme stredom O zostrojili kolmicu o, na ktorú sme naniesli výšku OŌ a bodom Ō sme zostrojili hornú podstavu. Kedže tu ide o rotačný valec, sú tieto kruhové podstavy v kolmých rovinách na os valca, sú zhodné a ich stred je v priesečníku osi s rovinou príslušnej podstavy. Pri konštrukcii druhého priemetu podstavy sme vychádzali z faktu, že tu ide o priemet kruhovej podstavy s daným polomerom a stredom, pričom sme využili druhý priemet bodu C, ktorý poznáme.
Priemet rotačného kužeľa s podstavou vo všeobecnej rovine: Riešenie je analogické a jednoduchšie preto, že tu ide o kužeľ.
Záber telies z praxe: Z praxe máme mnoho námetov súvisiacich s učivom. Napr. predmety na tomto obrázku /časť kuželíkového ložiska a príruba/ môžeme na základe doterajších vedomostí vhodne zobraziť. Najvýhodnejšie však je ak si žiaci prinesú vlastné predmety, meraním zistia ich rozmery, určia mierku zmenšenia a potom zobrazia predmety.
Praktické námety: Na obrázku vidieť vstrekovacie zariadenie z naftového motora, ktorého jednotlivé časti môžeme na základe doterajších vedomostí vhodne zobraziť.
Quételetova - Dandelinova veta: Obrázok ukazuje rez rotačnou valcovou plochou druhopremietajúcou rovinou, ktorej uhol s prvou priemetňou je φ. Tento obrázok sa dá použiť pri dôkaze známej vety: "Rez rotačnej valcovej plochy rovinou, ktorá je kosá vzhľadom na os plochy, je elipsa. Jej ohniskami sú dotykové body guľových plôch, ktoré sú vpísané do valcovej plochy a dotýkajú sa roviny rezu. Dĺžka jej vedľajšej polosi sa rovná polomeru valcovej plochy."
Rez rotačného valca premietajúcou rovinou: Pravý obrázok ukazuje rez rotačného valca druhopremietajúcou rovinou σ. Rezová elipsa určená stredom S a vrcholmi A, B, C, D sa v prvom priemete premieta do kružnice /S1, r = S1A1/ a v druhom do úsečky A2B2. V skutočnej veľkosti ju vidíme v otočení do prvej priemetne. Tento obrázok použijeme aj na konštrukciu siete tohto zrezaného rotačného valca. Preto sme použili dvanásť úsečiek na príslušných površkách; vyznačili sme ich v priemetoch. Površky sú kolmé na rovinu podstavy, preto pri rozvinutí plášťa do roviny sa kružnica podstavy napriami a všetky površky budú na ňu kolmé. Pretože máme kružnicu napriamiť, t.j. rozvinúť ukazujeme na ľavom obrázku tzv. Kochaňského konštrukciu.
Sieť rotačného valca zrezaného rovinou: Na základe výsledkov predchádzajúceho obrázku už ľahko zostrojíme jeho sieť.
Rez rotačného valca všeobecnou rovinou: Kedže máme zrezať rotačný valec, ktorého podstava je v prvej priemetní, každá rezová elipsa sa preto musí v prvom priemete premietať do podstavnej kružnice. Riešenie je zjavné. V podstate tu ide o riešenie tejto úlohy: zostrojte druhý priemet elipsy ležiacej v rovine σ, keď je daný jej prvý priemet, ktorým je kružnica. Pretože ide o rovinný rez telesa, treba zostrojiť aj tie body priemetov rezových rovinných kriviek, ktoré sú na obryse. V našom prípade prichádzajú do úvahy len body E, F a to len v druhom priemete.
Guľová plocha. Základné pojmy: Okrem iného môžeme pre účely zemepisu vysvetliť z geometrického hľadiska aj pojem zemepisnej dĺžky a šírky.
Rovinný rez gule premietajúcou rovinou: Vpravo je rovinný rez gule premietajúcou rovinou aj so skutočnou veľkosťou rezovej kružnice. Vľavo je výňatok z druhého priemetu, ktorý použijeme pri dôkaze známej vety: Ak rovina reže guľovú plochu, tak je táto rezová krivka kružnica.
Rovinný rez gule všeobecnou rovinou: Na zostrojenie druhého priemetu treba využiť skutočnosť, že rovinnou rezovou krivkou na guli môže byť len kružnica, ktorá leží zjavne v rezovej rovine. Jej polomer zistíme z prvého priemetu. Konštrukcia druhého priemetu je potom konštrukcia elipsy určenej hlavnou osou a jedným bodom. Nezabudnúť na spoločné body rezových kriviek a obrysy gule!
Námety z praxe: Postup je obdobný ako pri obr. 11. a 12.
Eliptický rez na rotačnej kužeľovej ploche: Obrázok použijeme na dôkaz vety: Rovina, ktorá nie je ani vrcholová, ani nie je kolmá na os, a ktorá s rovinou povrchovej kružnice rotačnej kužeľovej plochy zviera uhol menší ako povrchové priamky plochy, pretína rotačnú kužeľovú plochu v elipse.
Eliptický rez premietajúcou rovinou na rotačnom kuželi: Vybrali sme taký obraz, ktorý sa dá výhodne použiť aj na konštrukciu siete rotačného kužeľa zrezaného rovinou. Z tohto dôvodu treba zostrojiť skutočnú veľkosť rezovej elipsy a aj skutočné veľkosti príslušných úsečiek na tvoriacich sa priamkach.
Sieť rotačného kužeľa zrezaného všeobecnou rovinou: Použijeme výsledky z predchádzajúceho obrázku. Konštrukcia je zjavná.
Eliptický rez na rotačnom kuželi všeobecnou rovinou: Na ľavom obrázku model eliptického rezu na rotačnom kuželi. Vpravo sú príslušné priemety.
Parabolický rez na rotačnom kuželi: Na ľavom obrázku je model parabolického rezu. Pravý obrázok použijeme na dôkaz vety: Rovina, ktorá nie je vrcholová a zviera s rovinou povrchovej kružnice rotačnej kužeľovej plochy ten istý uhol ako povrchové priamky kužeľovej plochy, pretína plochu v parabole.
Ohnisková definícia paraboly a dotyčnica v bode paraboly: Vľavo je bodová konštrukcia paraboly vyplývajúca z definície. Vpravo konštrukcia dotyčnice a normály paraboly. Tento obrázok súčasne zdôvodňuje použitie "parabol" v reflektoroch ako aj opodstatnenie slova "ohnisko". Lúče z ohniska sú podľa zákonov odrazu navzájom rovnobežné.
Oskulačné kružnice vo vrchole paraboly a konštrukcia paraboly, ktorá je daná dvoma dotyčnicami s dotykovými bodmi: Pre oskulačnú kružnicu danej paraboly platí: AK = DF. Parabola daná dvoma dotyčnicami s dotykovými bodmi sa vyskytuje pri konštrukcii priemetu paraboly, ako rovinnej rezovej krivky na kužeľovej ploche. Osvojenie konštrukcie má prvoradý význam.
Parabolický rez na rotačnej kužeľovej ploche: Na obrázku je parabolický rez na rotačnej kužeľovej ploche premietajúcou rovinou. V tomto prípade môžeme zostrojiť pre rezovú parabolu v prvom priemete nielen dve dotyčnice s dotykovými bodmi /tM, tN/, ale aj priamo vrcholovú dotyčnicu t!
Parabolický rez na rotačnom kuželi všeobecnou rovinou: Uhol rezovej roviny α s priemetňou π je ten istý ako v predchádzajúcom obrázku, iba s tým rozdielom, že táto rovina je všeobecná aj vzhľadom na druhú priemetňu. Pri riešení sme ukázali, ako použiť vrcholovú rovinu, prípadne tretí priemet.
Ohnisková definícia hyperboly, dotyčnica v bode hyperboly: Postup je zjavný z obrázku. Na prvom obrázku pravouhlý trojuholník SBH má SB = a, BH = b, SH = e = SF, a má prvoradý význam pri obvyklom zadaní hyperboly, prípadne pri jej tzv. záverečnej konštrukcii.
Oskulačné kružnice vo vrcholoch hyperboly, konštrukcia hyperboly danej asymptotami a bodom, príp. dotyčnicou: Trojuholník SHK je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole H. Body K, K′ sú stredy oskulačných kružníc v príslušných vrcholoch hyperboly. Kružnica so stredom v bode ω a s polomerom veľkosti ωQ určuje ohniská E, F.
Hyperbolický rez na rotačnom valci: Riešenie tejto úlohy je pomerne zložité. Výhodne sme tu použili vrcholovú rovinu, keďže toto riešenie má všeobecný charakter. Hyperbola v prvom priemete je daná asymptotami a vrcholovou dotyčnicou s dotykovým bodom.
Klasifikácia rovinných rezových kriviek na rotačnej kužeľovej ploche: Zo vzájomného vzťahu vrcholovej roviny σ′ príslušnej danej rezovej rovine σ ku kužeľovej ploche /k jej povrchovým priamkam/ sa dá vopred určiť, v akej kužeľoúsečke daná rezová rovina reže kužeľovú plochu. Prípad, keď rezová rovina je rovnobežná s rovinou riadiacej kružnice, je triviálny.
Ojnica automobilového motora: Teoretické poznatky získané na hodinách deskriptívnej geometrie alebo technického kreslenia sú nevyhnutné pre vlastnú prax, ako aj pre štúdium technického smeru na vysokých školách. Vlastná prax potom používa iba výsledky, ktoré sú pre ňu vhodné. Preto zobrazované telesá napr. vhodne umiestňuje tak, ako to ukazuje príslušný výkres. My sme však už vedeli zostrojiť priemety jednotlivých detailov ojnice aj keby mali vzhľadom na priemetňu všeobecnú polohu. Takú metódu si osvetlíme v dalšej časti tohto súboru diafilmov.
y
